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matériaux et soins

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revêtement: lire

semelle intérieure: lire

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épaisseur de la garniture: très léger passé

Tout sur ce produit

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hakvorm: trechterhak

fermeture: glissement / ouvert

motif: plaine

Code produit: ga111b0k8-Q11

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Mozart et les shadowboxes Dans le cadre du dispositif « recommander De Haute Qualité Pas Cher Jetée Un Court Bottes TaBEAt
»

est un dispositif d’éducation artistique et culturelle proposé par le Département des Hauts-de-Seine en partenariat avec les lieux culturels situés sur son territoire.

Des collégiens découvriront l'univers de Mozart lors de la représentation de sa symphonie n°41 par Insula Orchestra . Ils interprèteront ensuite certains mouvements de l'œuvre musicale en illustrations vectorielles pour réaliser des shadowboxes, des boites de théâtre d'ombre en papier diffusant une lumière programmée en Arduino. Les créations seront ensuite exposées à la Seine Musicale et au Cube.

Pour des groupes de 5 à 20 personnes

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Gratuit pour les enseignants de Grand Paris Seine Ouest

Le Cube propose une série d’ateliers « à la carte » autour de la création numérique. Nous vous apportons, au Cube ou directement dans votre structure, les ressources et les outils pour préparer votre projet.

Le numérique dans ma classe Le numérique en médiathèque Le code en classe Objets connectés Open-book Do you speak social FabLab, makerspace et coworking Bien fait par eux

Les mercredis de 14h30 à 16h

6-11 ans

pour 10 enfants + présence de l’animateur nécessaire

Gratuit pour les centres de loisirs de Grand Paris Seine Ouest

Informations et réservation : contact@lecube.com

Les mercredis, Le Cube accueille les groupes de centres de loisirs pour 1h30 de pratique créative et ludique !

Janvier « Histoires interactives » Après avoir découvert des aventures interactives sur tablettes tactiles, les enfants mettent en scène, en textes, en sons et en images leurs propres histoires à l’aide d’applications mobiles adaptées aux plus jeunes.

Février « Histoires cachées » Des éléments typographiques, des lettres ou des mots sont récoltés par les enfants. Une fois triés et retouchés, ils servent de matériaux pour l'écriture de petits poèmes. Les enfants pourront ensuite cacher leurs créations en réalité augmentée dans une affiche qu'ils auront dessinée.

Mars « Robots à décoder » Dash, Dot et Thymio sont des robots malicieux. Ils ont laissé aux enfants des indices pour mener une nouvelle enquête. Avec un carnet numérique composé de charades et de devinettes, les enfants suivent un parcours semé d’obstacles et doivent résoudre de mystérieuses énigmes.

Avril « Fais ton cinéma ! » Grâce à une sélection d’applications pour réaliser des films d’animation image par image, les enfants se transforment en scénaristes. Du storyboard au tournage en passant par la mise en scène, laissons-les faire leur cinéma.

Mai « Abécédaire des mots nouveaux » Les enfants imaginent des mots nouveaux et leurs définitions. Ils travaillent ensuite la typographie et la réalisation graphique. Chacun calligraphie sa création en peinture qui conduit l'électricité afin de concevoir un abécédaire interactif qui réagira au toucher.

Juin « Bestiaire fantastique » Animaux, créatures, insectes et autres bestioles tropicales prennent vie. Les enfants fabriquent un bestiaire fantastique en mode pop-up et apprivoisent des animaux étonnants grâce à des applications sur tablette tactile.

Renseignements : contact@lecube.com

Accepter

Deux mathématiciens viennent de résoudre un problème de longue date en prouvant que deux infinis différents sont en fait de même taille. Leur preuve réside dans le lien surprenant entre les tailles des ensembles infinis et la complexité des théories mathématiques.

Kevin Hartnett
Dmitriy Rybin

Cette découverte va à l’encontre de ce que l'on pensait depuis des décennies: deux mathématiciens viennent de prouver que deuxsortesdifférentes d’infini ont en réalité la même taille. Cette avancée touche l’un des problèmes les pluscélèbres et les plus insolubles des mathématiques: existe-t-il des types d'infinis de taille intermédiaire entre celle de l'ensemble des nombres entiers naturels et celle des nombres réels,plus grand?

Le problème a été identifié pour la première fois il y a un siècle. A cette époque, les mathématiciens savaient que «les nombres réels étaient plus nombreux que les nombres naturels», mais ils ne savaient pas de combien. «Est-ce juste la taille au dessus, ou existe-t-il une taille intermédiaire?», explique Maryanthe Malliaris, de l’université de Chicago, coauteure de la nouvelle étude avec Saharon Shelah, de l’université hébraïque de Jérusalem et de l’université de Rutgers.

Dans leur publication, Maryanthe Malliaris et Saharon Shelah répondent à une question datant de 70ans: un certain infini (appelé p, nous reviendrons plus tard sur sa définition)est-ilplus petit qu’un autre infini (appelét) ? Ils ont prouvé que les deux sont en fait égaux, à la grande surprise des mathématiciens.

«C’était mon opinion et l’opinion généralement partagée depenser que p devait être plus petit que t», avoue Saharon Shelah.

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et ont été récompensés en juillet dernier par l’un des plus prestigieux prix dans le domaine de la théorie des ensembles. Mais leur travail a des applications qui vont bien au-delà de la questionparticulière de savoircomment ces deux infinis sont reliés. Il révèle notamment un lien inattendu entre les tailles des ensembles infinis et les efforts pourcartographier la complexitédes théories mathématiques.

Beaucoup d’infinis

La notion d’infini est un casse-tête. Mais l’idéequ'ilpeut y avoir différentes tailles d’infiniest peut-être la découverte mathématique la plus contre-intuitive qui a jamais été faite. Elle découle cependant d’un jeu de correspondance que même les enfants peuvent comprendre.

Supposons que nous avons deux groupes d’objets, ou deux «ensembles», comme les mathématiciens les appellent: un ensemble de voiture et un ensemble de chauffeurs. S’il y a exactement un chauffeur par voiture, avec aucune voiture vide et aucun chauffeur sans véhicule, on sait alors que le nombre de voiture est égal au nombre de chauffeurs (même sans connaître ce nombre).

A la fin du 19 siècle, le mathématicien allemand Georg Cantor a traduit l’esprit de ce petit jeu de correspondance en langage mathématique formel. Il prouva que deux ensembles avaient la même taille, ou la même «cardinalité», si leurséléments pouvaient être mis en correspondance un à un sans qu’il y ait de reste – comme pour les voitures et les chauffeurs. De manière un peu plus surprenante, il prouva que cette approche marchait pour des ensembles de taille infinie.

Considérons les nombres entiers naturels: 1, 2, 3, 4... etc. L’ensemble des entiers naturels est infini. Mais que dire de l’ensemble comprenant seulement les nombres pairs ou les nombres premiers (divisibles uniquement par eux-même ou par 1)? Chacun d’entre eux semble être, à première vue, un sous-ensemble de taille plus petite des nombres naturels. Et en effet, si l’on prend n’importe quel intervalle fini sur la droite des nombres (par exemple entre 50 et 100), il y aura moitié moins de nombre pairs que de nombres naturels, et encore moins de nombre premiers.

Mais les ensembles infinis se comporte différemment. Georg Cantor démontra en effet, qu’il y a une correspondance un à un entre les éléments de chacun de ces ensembles infinis.

En raison de cela, Georg Cantor conclut que ces trois ensemblessont de même taille. Les mathématiciens ontqualifiéles ensembles de cette taille de «dénombrable », puisqu’il est possible d’assigner un numéro à chaque élément de chaque ensemble.

Après avoir établi que les tailles des ensembles infinis pouvaient être comparées en associant les éléments des ensemble un à un, Georg Cantor fit unpas en avant encore plus grand: il prouva que certains ensembles infinis étaient encore plus large que celui desentiers naturels.

Considérons les nombres réels. Ils correspondent à la totalité des pointsde la droite numérique. Les nombres réels sont parfois définis comme un «continuum», en référence à leur nature continue: il n’y a pas d’espace entre un nombre réel et le suivant. Georg Cantor a été capable de démontrer que les nombres réels ne pouvaient pas être mis en correspondance un à un avec les entiers naturels: même si l’on crée une liste d’association infinie entre les nombres naturels et les nombres réels, il sera toujours possible de trouver un autre nombre réel qui ne sera pas danscette liste. Cantor en conclut que l’ensemble des réels était plus grand que l’ensemble des nombres entiers naturels. Une nouvelle forme d’infini était née: l’infini «indénombrable».

Georg Cantor n’arrivait cependant pas à comprendre s’il existait une taille intermédiaire d’infini –quelque-chose qui serait situé entre lesentiers naturels, dénombrables, et les nombres réels, indénombrables. Il supposa que non. Cette hypothèse est aujourd’hui connuesous le nom «d’hypothèse du continu».

En 1900, le mathématicien allemand David Hilbertdressa une liste des 23problèmes mathématiques les plus importants. Il plaça l’hypothèse du continu à la première place. «Cela semblait être la question la plus urgente à traiter», explique Maryanthe Malliaris.

Mais durant le siècle qui suivit, la question a résistéaux efforts des meilleurs mathématiciens. Existe-t-il des infinis intermédiaires ? Nous pourrions ne jamais le savoir.

La technique du forcing

Durant la première moitié du XX siècle, les mathématiciens ont tenté de résoudre l’hypothèse du continu en étudiant divers ensembles infinis apparaissant dans de nombreux domaines des mathématiques. Ils espéraient qu’en comparant ces infinis, ils commenceraient à comprendre l'intervalle, potentiellement non-vide, entre la taille desentiers naturels et celle des nombres réels.

La plupart de ces comparaisons se sont avérés très compliquées à expliciter. Dans les années 1960, le mathématicien Paul Cohen a expliqué pourquoi. Il a développé une méthode nommée «» pour démontrer que l’hypothèse du continu est indépendante des axiomes des mathématiques –c’est-à-dire qu’elle ne peut pas être prouvée dans le cadre de la théorie des ensembles. Le résultat de Cohen venait compléter celui de Kurt Gödel, qui prouva en 1940 que l’hypothèse du continu ne pouvait être réfutée en utilisant les axiomes classiques des mathématiques.

Le travail de Paul Cohen lui valut la médaille Fields (la plus haute distinction en mathématiques) en 1966. Les mathématiciens se sont ensuite mis à utiliser le pour résoudre des problèmes de comparaison entre infinis quis'étaientposés durant la première moitié du siècle, montrant ainsi que ceux-ci ne pouvaient pas non plus être résolus dans le cadre de la théorie des ensembles (notamment la théorie des ensemble de Zermelo-Fraenkelcomplétéede«l’axiome du choix»).

Des problèmes demeuraient cependant, dont la question datant des années 1940 concernant les cardinaux p et t. Ces infinis quantifient, de façon précise (et semble-t-il unique) la taille minimum descollections de sous-ensembles des nombre naturels.

Le détail de ces deux cardinaux n'est pas très important (voir l'encadré en fin d'article). Ce qui l’est en revanche, c’est que les mathématiciens ont découvert rapidement deux choses sur les tailles de p et t. Premièrement, les deux ensembles sont plus grands que les entiers naturels. Deuxièmement, p est toujours inférieur ou égal à t. Ainsi, si p était strictement inférieur à t, alors p serait un infini intermédiaire entre la taille des entiers naturels et celle des nombres réels, et l’hypothèse du continu serait alors fausse.

Les mathématiciens tendaient à croire que la relation entre p et t ne pourrait pas être prouvée dans le cadre de la théorie des ensembles, mais ils ne parvenaient pas non plus établir l’indépendance du problème. La situation restaainsi indéterminée pendant des décennies. Lorsque Maryanthe Malliaris et Saharon Shelah trouvèrent un moyen de la définir, ils étaient en réalité en train de chercher autre chose.

Les ordres de complexité

Pendant que Paul Cohen repoussait l’hypothèse du continu au-delà des mathématiques, un nouvelfront deprogrès se développait dans le domaine de la théorie des modèles.

Pour un théoricien des modèles, une «théorie» est un ensemble d’axiomes, ou de règles, qui définissent une zone des mathématiques. On peut voir la théorie des modèles comme un moyen de classer les théories mathématiques –une exploration du code source des mathématiques. «Je pense que certaines personnes s’intéressent aux théories de classification car ils veulent comprendre les causes de certaines choses qui apparaissent dans des domaines très variés des mathématiques», explique Jerome Keisler, professeur émérite de mathématiques à l’université du Wisconsin, à Madison.

En 1967, Jerome Keisler a introduit ce que l’on appelle maintenant l’ordre de Keisler, quivise à classer les théories mathématiques selon leur complexité. Il a proposé une technique pour mesurer cette complexité et a réussi à prouver que les théories mathématiques peuvent être classées en au moins deux catégories: celles avec une complexité minimum et celles avec une complexité maximum. «C’était un point de départ modeste, mais j’avais l’intuition qu’il y aurait une infinité de catégories», se rappelle Jerome Keisler.

Le caractère complexe d’une théorie n’est pas toujours évident. Déceler cette complexité est d’ailleurs ce qui motive beaucoup derecherches dans ce domaine. Jerome Keisler décrit la complexité comme la variété de choses qui peuventse produire dans une théorie – les théories où beaucoup de choses peuvent se passer sont plus complexes que celles où peu de choses peuvent se dérouler.

Un peu plus d’une décennie après l’introduction de l’ordre de Keisler, Saharon Shelah publia un important ouvrage. Un chapitre, notamment, montrait qu’il existait des paliers dans la complexité –des lignes de séparation qui distinguent les théories les plus complexes des plus simples. Peu de progrès ont ensuite été faità propos del’ordre de Keisler durant les 30 ans suivants.

Mais, en 2009, dans sa thèse de doctorat ainsi que dans ses premiers articles, Maryanthe Malliaris se plongea à son tour sur l’ordre de Keisler et apporta une nouvelle preuve de sa puissance comme programme de classification. En 2011, elle se mit à travailler avec Saharon Shelah pour mieux comprendre la structure de cet ordre. L’un de leurs buts étaient d’identifier le maximum de propriétés qui rendaient une théorie complexe selon le critère de Keisler.

Maryanthe Malliaris et Saharon Shelah repérèrent deux propriétés en particulier. Ils savaient déjà que la première conduisait à une complexité maximale mais ils voulaient savoir si c’était aussi le cas pour la seconde. Au fur et à mesure de leur travail, ils réalisèrent que cette question étaitanalogue à la question: p et t sont-ils de même taille ? En 2016, Maryanthe Malliaris et Saharon Shelah ont répondu aux deux problèmes dans une publication d’une soixantaine de pages: les deux propriétés sont aussi complexes l’une que l’autre et p est de même taille que t.

«D’une certaine façon, tout s'est emboîté», se réjouit Maryanthe Malliaris. «C’est une constellation de problèmes qui venaient d’être résolus en même temps.»

En juillet dernier, Maryanthe Malliaris et Saharon Shelah ont été récompensés par le médaille Hausdorff, l’un des plus prestigieux prix en théorie des ensembles. Cet honneur reflète la surprenante puissance de leur preuve. Beaucoup de mathématiciens s’attendaient à ce que p soit inférieur à t et que le prouver était impossible dans le cadre de la théorie des ensembles. La chercheuse et le chercheur ont, eux, montré que les deux infinis étaient en fait égaux. Leur travail révèle aussi que la relation entre p et t était bien plus profonde que les mathématiciens ne le pensaient.

«Je pense que dans l’esprit des gens, si les deux cardinaux devaient être égaux, la preuve serait peut-être surprenante, mais surtout elle viendrait d’un argumentcourt et astucieux qui n’impliquerait pas la création de véritables méthodes et d'outils», explique Justin Moore, un mathématicien à l’université de Cornell qui a publié un avis sur la preuve de Maryanthe Malliaris et Saharon Shelah.

Au lieu de ça, les deux mathématiciens ont montré que p et t étaient égaux en se frayant un chemin entre la théorie des modèles et la théorie des ensembles qui ouvre déjà la voie à de nouvelles recherches dans les deux domaines. Leur travail met aussi fin à un problème dont les mathématiciens ont toujours espéré qu’il résolve l’hypothèse du continu.

Cependant, le sentiment dominant chez les experts reste que cette hypothèse en apparence improuvableest fausse: l’infini est si étrange par de nombreux aspects que cela serait presque tropbizarre s’il n’existait pas d’autres tailles d'infini que celles que nous avons déjà découvertes.

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Kevin Hartnett est journaliste à Quanta magazine.

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